卡尔松不等式(卡尔松不等式一般形式)

卡尔松不等式是柯西不等式的重要推广形式，主要描述非负实数矩阵中列和与行几何平均之间的关系。其核心内容和形式如下：

1. 一般形式

对于 \\( m \

imes n \\) 的非负实数矩阵 \\( A = [a_{ij}] \\)，卡尔松不等式表述为：

\\[

\\prod_{j=1}^n \\left( \\sum_{i=1}^m a_{ij} \\right)^{1/n} \\geq \\sum_{i=1}^m \\left( \\prod_{j=1}^n a_{ij} \\right)^{1/n}

\\]

即各列元素之和的几何平均不小于各行元素几何平均之和。

等号成立条件：至少一列全为零，或所有行向量线性相关（成比例）。

2. 与柯西不等式的关系

\\[

(a_1 + b_1)(a_2 + b_2) \\geq \\left( \\sqrt{a_1a_2} + \\sqrt{b_1b_2} \\right)

\\]

即柯西不等式的乘积形式。

3. 应用与推广

4. 其他表述

部分文献将卡尔松不等式称为“矩阵长方形不等式”，强调其几何意义：矩阵列和的几何平均控制行几何平均的线性组合。